“如果给定的对应法则,对于每一个xD总有确定的y与其对应,但这个y不是唯一的,则这样定义的函数称为多值函数.”函数的定义不应该是确定且唯一的y值么?为什么还会不唯一?

Question

“如果给定的对应法则,对于每一个xD总有确定的y与其对应,但这个y不是唯一的,则这样定义的函数称为多值函数.”函数的定义不应该是确定且唯一的y值么?为什么还会不唯一?

Answer 1

唯一的Y值就是单值函数,它是多值函数的特例.
多值函数的例子：①若│f(x)│=2x-1,则f(x)=±(2x-1).一个自变量x对应两个函数值.②y=sinx (x∈R)在R上的反函数(注:在单值函数里,是"在[-π/2,π/2]上)为(多值函数)y=Arcsinx.一个自变量x对应无数个函数值.
多值函数从输入值集合X到可能的输出值集合Y的函数f (记作f:X→Y) 是X与Y的关系,满足如下条件：
对X中任一元素x都有集合Y中的元素y满足x与y是f相关的.即,对每一个输入值,Y中都有至少一个与之对应的输出值.
1、函数是指实数集对实数集的映射,而从映射的角度出发是定义域中的每个元素只能有一个像.多值函数的一个X可以有两个Y与之对应,这是否与函数的定义相违背?
如果定义函数是映射的一种,那么从映射的定义上来看,多值函数不是函数.如果定义函数是一种对应法则（许多课本亦如此定义）,那么毫无疑问,多值函数是函数的一类.
所以多值函数是不是函数取决于对于函数的定义.但是多值函数往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数也称为多值函数的单值分支.所以在实际应用上,多值函数和函数的概念并不会造成困扰.
你认为的矛盾是已经从某种意义上把多值函数归为函数范畴了,如果你把术语函数换成对应来就好理解,对应和多值对应从字面意思就能看出他们所指并不一样,所以并不存在矛不矛盾的话题.就相当于解释什么是‘维’‘一维’‘二维’‘多维’一样.