已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x，（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移π4个单位后，得到函数y=g（x）的图象，若g(α)＝23+1，α为第一象限角，求sin2α值．

Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将函数y=f（x）图象向右平移(π)/(4)个单位后，得到函数y=g（x）的图象，若g(α)＝(√(2))/(3)+1，α为第一象限角，求sin2α值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=√(2)sin（2x+(π)/(4)）+1，
由2kπ-(π)/(2)≤2x+(π)/(4)≤2kπ+(π)/(2)（k∈Z）得：kπ-(3π)/(8)≤x≤kπ+(π)/(8)，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-(3π)/(8)，kπ+(π)/(8)]（k∈Z）；
（Ⅱ）由题意得：g（x）=√(2)sin（2x-(π)/(4)）+1，
由A（0，-1），得√(2)sin（2α-(π)/(4)）+1=(√(2))/(3)+1，
∴sin（2α-(π)/(4)）=(1)/(3)，
又α为第一象限角，
∴2α-(π)/(4)∈（4kπ-(π)/(4)，4kπ+(3π)/(4)），k∈Z，
又0＜sin（2α-(π)/(4)）＜(1)/(3)＜(√(2))/(2)知，
∴2α-(π)/(4)∈（4kπ，4kπ+(π)/(2)），k∈Z，
∴cos（2α-(π)/(4)）=(2√(2))/(3)，
∴sin2α=sin[（2α-(π)/(4)）+(π)/(4)]=(√(2))/(2)[sin（2α-(π)/(4)）+cos（2α-(π)/(4)）]=(√(2))/(2)（(1)/(3)+(2√(2))/(3)）=(√(2)+4)/(6)．