如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（-2，-4），与x轴交于A、B两点，且A（-6，0），与x轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的

Question

如图所示，抛物线y=ax ² +bx+c的顶点为M（-2，-4），与x轴交于A、B两点，且A（-6，0），与x轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：
二次函数综合题
专题：

分析：
（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题；（3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．

（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，∵函数图象顶点为M（-2，-4），∴y=a（x+2）2-4，又∵函数图象经过点A（-6，0），∴0=a（-6+2）2-4解得a=14，∴此函数的解析式为y=14（x+2）2-4，即y=14x2+x-3；（2）∵点C是函数y=14x2+x-3的图象与y轴的交点，∴点C的坐标是（0，-3），又当y=0时，有y=14x2+x-3=0，解得x1=6，x2=2，∴点B的坐标是（2，0），则S△ABC=12|AB|•|OC|=12×8×3=12；（3）假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．设E（x，0），则P（x，14x2+x-3），设直线AC的解析式为y=kx+b，∵直线AC过点A（-6，0），C（0，-3），∴-6k+b=0-3=b，解得k=-12b=-3，∴直线AC的解析式为y=-12x-3，∴点F的坐标为F（x，-12x-3），则|PF|=-12x-3-（14x2+x-3）=-14x2-32x，∴S△APC=S△APF+S△CPF=12|PF|•|AE|+12|PF|•|OE|=12|PF|•|OA|=12（-14x2-32x）×6=-34x2-92x=-34（x+3）2+274，∴当x=-3时，S△APC有最大值274，此时点P的坐标是P（-3，-154）．
点评：
本题考查了抛物线解析式的求解，考查了一元二次方程的求解，考查了二次函数最值的求解，考查了二次函数的应用，本题中正确求得抛物线解析式是解题的关键．