如图，抛物线y=ax2-32x-2（a≠）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值

Question

如图，抛物线y=ax²-(3)/(2)x-2（a≠）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标；
（3）试探究：△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标．

Answer 1

（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：
0=16a-(3)/(2)×4-2，即：a=(1)/(2)；
∴抛物线的解析式为：y=(1)/(2)x²-(3)/(2)x-2．

（2）可得：B（4，0）、C（0，-2），设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则

4k+b=0

b=-2

，
解得：

k=1

b=-2

故直线BC的解析式为：y=x-2；
设x_M=t，则y_M=(1)/(2)t²-(3)/(2)t-2，y_N=(1)/(2)t-2，
S_△MBC=S_△CME+S_△BEM=(1)/(2)EM•ON+(1)/(2)EM•BN=(1)/(2)EM•OB
=(1)/(2)（(1)/(2)t-2-(1)/(2)t²+(3)/(2)t+2）×4
=-t²+4t
=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，S_△MBC=最大值为4，此时M（2，-3）；

（3）由（1）的函数解析式可求得：A（-1，0）、C（0，-2）；
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA•OB，
又∵OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，
∴∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；
∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（1.5，0）．