（2014•郑州一模）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，D为AB的中点，且A1D与底面ABC所成角的正切值为2，则三棱锥A1-ACD外接球的表面积为．

Question

（2014•郑州一模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，D为AB的中点，且A₁D与底面ABC所成角的正切值为2，则三棱锥A₁-ACD外接球的表面积为______．

Answer 1

如图示：
∵侧棱AA₁⊥底面ABC，
∴∠A₁DA就是A₁D与底面ABC所成的角，
在直角三角形A₁DA中，
tan∠A₁DA=(A1A)/(AD)=2，
∵底面是边长为2的正三角形，且AD=1，
∴A₁A=2，
设三棱锥A₁-ACD外接球的半径为r，
∵S_△A1DA=(1)/(2)×1×2=1，
CD=(√(3))/(2)×2=√(3)，
∴三棱锥A₁-ACD=(1)/(3)×1×√(3)=(√(3))/(3)，
V_{三棱锥O-A1CD}+V_{三棱锥O-A1AD}+V_{三棱锥O-A1AC}+V_{三棱锥O-ACD}
=(1)/(3)×(1)/(2)×√(3)×√(5)r+

作业帮用户 2017-11-10

问题解析

首先，根据垂直关系，得到∠A₁DA就是A₁D与底面ABC所成的角，然后，设三棱锥A₁-ACD外接球的半径为r，利用等积法求解该r，从而得到其表面积．

名师点评

本题考点：

棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：

本题重点考查了空间中垂直关系的判断和应用，掌握等积法在求解几何体的外接球的半径中的应用问题，属于中档题．

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