在三棱锥P--ABC中,PA垂直底面ABC,平面PAB垂直平面PBC,角BPC=45,PB=a,求这个三棱锥外接球的体积

Answer 1

如图

如图

做CD⊥PB交PB于D

做CD⊥PB交PB于D

因为面PBC⊥面PAB,∠CDA就是两个平面的夹角=90°

因为面PBC⊥面PAB,∠CDA就是两个平面的夹角=90°

即AD⊥面PBC,故AD⊥BC

即AD⊥面PBC,故AD⊥BC

又PA⊥BC,故BC⊥面PAB,即D与B重合

又PA⊥BC,故BC⊥面PAB,即D与B重合

故BC⊥AB,∠ABC=90°,∠PBC=90°,

故BC⊥AB,∠ABC=90°,∠PBC=90°,

三棱锥P-ABC恰为长方体的一部分,其球心就在PC的中点；

三棱锥P-ABC恰为长方体的一部分,其球心就在PC的中点；

又∠BPC=45°

又∠BPC=45°

故∠PCB=45°,PB=BC=a

故∠PCB=45°,PB=BC=a

球的半径为（根号2）a/2

球的半径为（根号2）a/2

球的体积为4pi*r*r*r/3=（根号2）a*a*a/3

球的体积为4pi*r*r*r/3=（根号2）a*a*a/3

解毕

解毕