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设G是一个非空集合,*是定义在G上的一个运算.如果同时满足下述四个条件:(ⅰ)对于∀a,b∈G,都有a*b∈G;(ⅱ)对于∀a,b,c∈G,都有(a*b)*c=a*(b*c);(iii)对于∀a∈G,∃e∈G

题目详情
设G是一个非空集合,*是定义在G上的一个运算.如果同时满足下述四个条件:
(ⅰ)对于∀a,b∈G,都有a*b∈G;
(ⅱ)对于∀a,b,c∈G,都有(a*b)*c=a*(b*c);
(iii)对于∀a∈G,∃e∈G,使得a*e=e*a=a;
(iv)对于∀a∈G,∃a'∈G,使得a*a′=a′*a=e(注:“e”同(iii)中的“e”).
则称G关于运算*构成一个群.现给出下列集合和运算:
①G是整数集合,*为加法;②G是奇数集合,*为乘法;③G是平面向量集合,*为数量积运算;④G是非零复数集合,*为乘法.其中G关于运算*构成群的序号是___(将你认为正确的序号都写上).
▼优质解答
答案和解析
①若G是整数集合,则(i)两个整数相加仍为整数;(ⅱ)整数加法满足结合律;( iii)∃0∈G,∀a∈G,则)0+a=a+0=a;( iv)∀a∈G,在整数集合中存在唯一一个b=-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;故整数集合关于运算*构成一个群;
②G是奇数集合,*为乘法,则e=1,不满足( iv);
③G是平面向量集合,*为数量积运算,则不满足(i)a*b∈G;
④G是非零复数集合,*为乘法,则(i)两个非零复数相乘仍为非零复数;(ⅱ)非零复数相乘符合结合律;( iii)∃1∈G,∀a∈G,则)1×a=a×1=a;( iv)∀a∈G,在G中存在唯一一个
1
a
,使
1
a
=
1
a
×a=1.
故答案为:①④.