如果一个幂函数有反函数,那么它一定为奇函数这个命题对不对?为什么?

Question

如果一个幂函数有反函数,那么它一定为奇函数 这个命题对不对?为什么?

Answer 1

我们知道,是奇函数的幂函数是指数为奇数的函数因为对于函数f(x)=x^(2n+1)来说,不存在定义域的限制（x∈(-∞,+∞)）所以这个函数有反函数f-1(x)=x^(1/(2n+1))（x∈(-∞,+∞)）而对于偶数指数且指数大于1的幂函数是偶函数f(x)=x^2n（x∈(-∞,+∞),n>1/2）的反函数应为f-1(x)=x^(1/2n)（x∈(-∞,+∞),n>1/2）可是f-1(x)=x^(1/2n)（x∈(-∞,+∞),n>1/2）在(-∞,0)内没有意义,也就是说原函数与“反函数”定义域不对称所以偶函数的幂函数（除y=0外）全没有反函数 可是,对于既奇且偶函数,就同奇函数.所以这个命题的结论,也不对