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求sin2θ+2√2(sinθ+cosθ)+4的最大值和最小值
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求 sin2θ+2√2(sinθ+cosθ)+4 的最大值和最小值
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答案和解析
令sinθ+cosθ=t
则1+2sinθcosθ=t²
sin2θ=t²-1
sin2θ+2√2(sinθ+cosθ)+4
=t²-1+2√2t+4
=t²+2√2t+3
=(t+√2)²+1
由于t=√2sin(θ+π/4)∈[-√2,√2]
所以当t=-√2时,最小值为1
当t=√2时,最大值为9
则1+2sinθcosθ=t²
sin2θ=t²-1
sin2θ+2√2(sinθ+cosθ)+4
=t²-1+2√2t+4
=t²+2√2t+3
=(t+√2)²+1
由于t=√2sin(θ+π/4)∈[-√2,√2]
所以当t=-√2时,最小值为1
当t=√2时,最大值为9
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