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开区间(0,1)内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列,请说明理由.
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开区间(0,1)内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列,请说明理由.
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答案和解析
开区间(0,1)内的有理数不能按照从小到大的顺序排成一列.
尽管(0,1)中的有理数的个数是可数的,
但(0,1)中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列,
理由如下:
(1)由于(0,1)中无最小的有理数,也无最大的有理数;
(2)用反证法,
假若(0,1)中的有理数按由小到大的顺序排成了一列r1<r2<r3<…,
则(r1,r2)中应不存在有理数,
但是,(r1,r2)中仍有有理数
,矛盾.
尽管(0,1)中的有理数的个数是可数的,
但(0,1)中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列,
理由如下:
(1)由于(0,1)中无最小的有理数,也无最大的有理数;
(2)用反证法,
假若(0,1)中的有理数按由小到大的顺序排成了一列r1<r2<r3<…,
则(r1,r2)中应不存在有理数,
但是,(r1,r2)中仍有有理数
r1+r2 |
2 |
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