已知函数f:[a,b]→R(实数集合),且对于任意x,y∈[a,b],f[(x+y)/2]≤[f(x)+f(y)]/2,求证f在(a,b)上连续.也就是说,两点平均数的函数值不大于连点函数值的平均数,求证f在相关的开区间上连续.补充一点，条

Question

已知函数f:[a,b]→R(实数集合),且对于任意x,y∈[a,b],f[(x+y)/2]≤[f(x)+f(y)]/2,求证f在(a,b)上连续.
也就是说,两点平均数的函数值不大于连点函数值的平均数,求证f在相关的开区间上连续.
补充一点，条件还有f在[a,b]上取值有上下限。

Answer 1

【反证法】
证明：假设存在c∈(a,b).使得函数f(x)在点x=c处不连续.
【1】∵函数f(x)在点x=c处不连续.
∴由“函数连续定义的否定”可知：
存在一个正数ε＞0,对任意的实数δ＞0,当x∈(a,b)且|x-c|＜δ时,
恒有：|f(x)-f(c)| ≥ε＞0.
即恒有f(x)-f(c) ≥ε或f(c)-f(x) ≥ε
【2】当f(x)-f(c) ≥ε时.
结合题设易知,2f(x)- ε≥f(x)+f(c) ≥2f[(x+c)/2]
即当x∈(a,b)且|x-c|＜δ时,恒有：2f(x)- ε≥2f[(x+c)/2]
∴当x=c时,就有2f(c)- ε≥2f(c).
∴0≤-ε＜0.矛盾.
【3】当f(c)-f(x) ≥ε时.
结合题设易知,2f(c)- ε≥f(x)+f(c) ≥2f[(x+c)/2].
与上面同理可知,当x=c时,就有0≤-ε＜0.矛盾.
综上可知,假设不成立.
∴函数f(x)此时在区间(a,b)上连续.