判断正误并证明在有界闭区间a,b上可导的函数f(x)是一致连续的

Question

判断正误并证明 在有界闭区间a,b上可导的函数f(x)是一致连续的

Answer 1

做一个辅助函数F(x)=xf(x),然后对于F(x)应用拉格朗日中值定理：由于函数f（X）在闭区间[a b]上连续,在（a,b）内可导,很容易得知函数F（X）在闭区间[a b]上连续,在（a,b）内可导,因此必存在一点s,使得
(F(a)-F(b))/(b-a)=F'(s)然后将F(x)=xf(x)代入即可得到bf(b)-af(a)/b-a=f(s)+sf '(s).