设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y=-x2+4x-2

Question

设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．
（1）函数y=-x²+4x-2在区间[0，5]上的最小值是___
（2）求函数y=(x+ (1)/(2))2+ (3)/(4)在区间[0， (3)/(2)]上的最小值．
（3）求函数y=x²-4x-4在区间[t-2，t-1]（t为任意实数）上的最小值y_min的解析式．

Answer 1

（1）y=-x²+4x-2其对称轴为直线为x=2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．
函数图大致象如图1所示：

当x=5时，函数有最小值，最小值为-7．
故答案为：-7．
（2）y=(x+(1)/(2))2+(3)/(4)，其对称轴为直线x=-(1)/(2)，顶点坐标(-(1)/(2)，(3)/(4))，且图象开口向上．
其顶点横坐标不在区间[0，(3)/(2)]内，
如图2所示．

当x=0时，函数y有最小值

y

min

=1．
（3）将二次函数配方得：y=x²-4x-4=（x-2）²-8
其对称轴为直线：x=2，顶点坐标为（2，-8），图象开口向上
若顶点横坐标在区间[t-2，t-1]左侧，则2<t-2，即t>4．
当x=t-2时，函数取得最小值：ymin=(t-4)2-8=t2-8t+8
若顶点横坐标在区间[t-2，t-1]上，则t-2≤2≤t-1，即3≤t≤4．
当x=2时，函数取得最小值：y_min=-8
若顶点横坐标在区间[t-2，t-1]右侧，则t-1<2，即t<3．
当x=t-1时，函数取得最小值：ymin=(t-3)2-8=t2-6t+1
综上讨论，得ymin=

t2-8t+8(t>4)

-8(3≤t≤4)

t2-6t+1(t<3)

．