设函数f(x)连续,且f'(0)>0,则存在A>0,使得f(x)在(0,A)内单调增加.错在哪里?尽量说详细些,

Question

设函数f(x)连续,且f'(0)>0,则存在A>0,使得f(x)在(0,A)内单调增加.错在哪里?尽量说详细些,

Answer 1

如果f'(x)连续,则结论成立.否则可能不成立.
f(x)=x+x^2sin(1/x),当x不为0时；f(0)=0,易知f'(0)=1>0,但
f'(x)=1+2xsin(1/x)－cos(1/x),f'(1/kpi)=1－(－1)^k,在k趋于无穷的过程中,
f'(x)总有大于0的点,也有小于0的点,在0的任一个右邻域内f(x)不是单调的.