设函数f(x)连续,且f'(x)>0,则存在a>0.使得f(x)在（0,a）内单调递增.这为什么是错的上面是且f'(o)>0,上面打错了

Question

设函数f(x)连续,且f'(x)>0,则存在a>0.使得f(x)在（0,a）内单调递增.这为什么是错的
上面是且f'(o)>0,上面打错了

Answer 1

如果f'(x)在0的一个邻域内连续,于是在此邻域内f'(x)>0,故f(x)单调递增.因此反例只能从f'(x)在0不连续找.
考虑f(x)=x/2+x^2sin1/x,当x不为0时,f(0)=0.
用定义有f'(0)=1/2>0,f'(x)=1/2+2xsin1/x--cos1/x.当xk取1/【2kpi】时,f'(xk)=--1/2,
当xk取1/【(2k+1)pi】时,f'(xk)=3/2.也即是在0的任意一个右邻域内,总有导数值大于0,也总有导数值小于0,因此f(x)不单调.