已知f(x)=-x3-x+1(x属于R),证明y=f(x)是减函数,且满足f(x)=0的x至多只有一个.

Question

已知f(x)=-x3-x+1(x属于R),证明y=f(x)是减函数,且满足f(x)=0的x至多只有一个.

Answer 1

令-∞＜x1＜x2＜+∞
f(x2)-f(x1) = (-x2³-x2+1) - (-x1³-x1+1)
= x1³-x2³+x1-x2
= (x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)+(x1-x2)
= (x1-x2)( x1²+x1x2+x2²+1)
= (x1-x2){ (x1+x2/2)² + 3x2²/4 + 1}
∵ (x1+x2/2)² + 3x2²/4 + 1＞0,x1-x2＜0
∴ f(x2)-f(x1) ＜0
根据定义知,y=f(x)是减函数

x=0时,f(0)=1＞0
x=1时f(1)=-1＜0
函数单调减,故x=0和x=1之间必存在零点,且只有一个零点