已知函数f（x）=12x-1+a是奇函数．（1）求a的值和函数f（x）的定义域；（2）用单调性的定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）解不等式f（-m2+2m-1）+f（m2+3）<0．

Question

已知函数f（x）=(1)/(2x-1)+a是奇函数．
（1）求a的值和函数f（x）的定义域；
（2）用单调性的定义证明：函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（3）解不等式f（-m²+2m-1）+f（m²+3）<0．

Answer 1

（1）要使函数有意义，则2^x-1≠0，即2^x≠1，即x≠0，
则函数的定义域为{x|x≠0}，
∵函数f（x）=(1)/(2x-1)+a是奇函数，可得f（x）+f（-x）=0，
∴(1)/(2x-1)+a+(1)/(2-x-1)+a=0，解得a=(1)/(2)，
∴函数f（x）=(1)/(2x-1)+(1)/(2)，
（2）由（1）得f（x）=(1)/(2x-1)+(1)/(2)，
则f（x）在（0，+∞）上都是减函数，证明如下
任取x₁<x₂则
f（x₁）-f（x₂）=(1)/(2x1-1)-(1)/(2x2-1)=(2x2-2x1)/((2x1-1)(2x2-1))
当x₁，x₂∈（0，+∞）时，2x1-1>0，2x2-1>0，2x2-2x1>0，
所以(2x2-2x1)/((2x1-1)(2x2-1))>0，
有f（x₁）-f（x₂）>0
即f（x₁）>f（x₂），
则f（x）=(1)/(2x-1)+(1)/(2)在（0，+∞）上是减函数；
（3）∵函数f（x）是奇函数且在（0，+∞）上是减函数，
∴由f（-m²+2m-1）+f（m²+3）<0
得f（m²+3）<-f（-m²+2m-1）=f（m²-2m+1），
∵m²+3>0，m²-2m+1=（m-1）²≥0，
∴m²+3>m²-2m+1，且（m-1）²≠0
即2m>-2且m≠1，得m>-1且m≠1．