讨论函数fx=x+a/x的单调性a>0

Question

讨论函数fx=x+a/x的单调性 a>0

Answer 1

f(x)=x+a/x (a＞0) 函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) 显然函数为奇函数,只需讨论x＞0的情况即可 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1＜x2,x1-x2＜0,则 `f(x1)-f(x2) =(x1-x2)+(a/x1-a/x2) =(x1-x2)-a(x1-x2)/x1x2 =(x1-x2)(1-a/x1x2) =(x1-x2)(x1x2-a)/x1x2 ∵x1-x2＜0,x1x2＞0,a＞0 ∴当x1,x2∈(0,√a),则x1x2＜a,此时f(x1)＞f(x2) 即f(x)在(0,√a]上是减函数 当x1,x2∈(√a,+∞),则x1x2＞a,此时f(x1)＜f(x2) 即f(x)在[√a,+∞)上是增函数 根据奇函数性质 f(x)的单调增区间为(-∞,-√a]和[√a,+∞) f(x)的单调减区间为[-√a,0)和(0,√a]