已知函数f（x）=（2-a）lnx-2ax-1/x（1）试讨论f（x）的单调性（2）如果当x＞1时,f（x)＜-2a-1,求a范围

Question

已知函数f（x）=（2-a）lnx-2ax-1/x （1）试讨论f（x）的单调性 （2）如果当x＞1时,f（x)＜-2a-1,求a范围

Answer 1

（1）f'(x)=(2-a)／x-2a+1／x²
=[1-(a-2)x-2ax²]／x²
=(1+2x)(1-ax)／x²
令f'(x)=0,解得x1=-1／2,x2=1／a
由题,显然x∈（0,﹢∞）,故
①a=0时,f'(x)=（1+2x）／x²＞0.,则f(x)单调递增
②a＜0时,f'(x)＞0对任意x∈﹙0,﹢∞﹚均成立,则f(x)单调递增
③a＞0时,列表如下
x （0,1／a） 1／a （1／a,﹢∞）
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
则f（x）在（0,1／a）上单调递增,在（1／a,﹢∞）上单调递减
综上,a≤0,f（x）在﹙0,﹢∞﹚上单调递增
a＞0,f（x）在（0,1／a）上单调递增,在（1／a,﹢∞）上单调递减
（2）f(x)＜﹣2a－1=f（1）
由（1）知,当a≤0时,x＞1,f(x)单调递增
故f(x)>f(1) 矛盾
所以a＞0
因为f(1)＞f(x),可知（1,x）在f(x)递减区间,
故1/a≦1