已知函数f（x）=ax2+lnx（x＞0）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）当a=0时，斜率为k的直线与曲线y=f（x）交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．

Question

已知函数f（x）=ax²+lnx（x＞0）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）当a=0时，斜率为k的直线与曲线y=f（x）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，求证：．

Answer 1

（I）（x＞0）
（1）a≥0时，f'（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增
（2）当a＜0时，由，由
考虑到x＞0，得f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（II）a=0时，，不等式  ，即证（8分）
由于t＞1，令g（t）=，所以g（t）＞g（1）=1，
即不等式成立，令
即lnt＜t-1，所以，不等式1-成立，即得原不等式成立（14分）