已知函数，a∈R是常数．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求时，f(x)零点的个数；③求证：•…(，e为自然对数的底数)．

Question

已知函数，a∈R是常数．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求时，f(x)零点的个数；
③求证：•…(，e为自然对数的底数)．____

Answer 1

【分析】(1)先求出导函数f′(x)，令f′(x)>0，对参数a分a≥0，-1<a<0，a≤-1三种情形进行讨论；
(2)由(1)的结论-1<a=<0，分三个单调区间来利用单调性来讨论函数的零点的个数问题；
(3)利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性求解．

(1)，
若a≥0，则f′(x)>0，f(x)在定义域内单调递增；
若a≤-1，则f′(x)<0，f(x)在定义域内单调递减；
若-1<a<0，由f′(x)=0，解得，，，
则f′(x)知，f(x)在和单调递减，
在单调递增．
(2)观察得f(0)=0，时，
由①得f(x)在单调递减，
所以f(x)在上有且只有一个零点；
，
计算得，
f(x₁)f(x₂)<0且f(x)在区间单调递增，
所以f(x)在上有且只有一个零点；
根据对数函数与幂函数单调性比较知，
存在充分大的M∈R，使f(M)<0，f(x₂)f(M)<0
且f(x)在区单调递减，
所以f(x)在上
从而在上有且只有一个零点．
综上所述，时，f(x)有3个零点．
(3)取a=-1，，
由①得f(x)单调递减，
所以∀x>0，f(x)<f(0)=0，，
从而ln(1+)(1+)…(1+)
=ln(1+)ln(1+)+…(1+)
<++…，
由lnx单调递增得．

【点评】单调性刻画函数两个变量变化趋势的一致性，是认识函数的重要角度，运用单调性可以确定函数零点的个数，考查导数使单调性可以定量、精确研究这一重要工具．参数是可变的常数，处理参数是比较高端的数学素养，本题考查了这一素养，因此对学生的综合应用能力要求较高．