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已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.(I)讨论函数f(x)的单调性;(II)若f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-2.(i)求f(x)的解析式;(ii)求证:当.

题目详情
已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-2)x.
(I)讨论函数f(x)的单调性;
(II)若f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-2.
(i)求f(x)的解析式;
(ii)求证:当
▼优质解答
答案和解析
由题意可得,f(x)定义域为(0,+∞)
(I)对函数求导可得,
①a≥0时,ax+1>0,x>0
由f′(x)>0可得,,由f′(x)<0可得
∴f(x)在(0,)单调递增,在(,+∞)单调递减
②a<0时,令f′(x)=0可得x1=
(i)当-2<a<0时
由f′(x)<0可得,由f′(x)>0可得
故f(x)在单调递减,在(0,),单调递增
(ii)当a<-2时,同理可得f(x)在(-)单调递减,在(0,-),单调递增
(iii)当a=-2时,
∴f(x)在(0,+∞)增…..(6分)
(II)(i)由(I)知)知f′(x)=-(a+1)=-2
∴a=1
∴f(x)=lnx-x2-x….(8分)
(ii)证明:
=

故当x∈(0,1)时,g′(x)>0,g(x)在(0,1)单调递增,
∴g(x)<g(1)=0,又

当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)单调递增,g(x)>g(1)=0


综上所述,x>0且x≠0时,…(14分)