已知函数在上不具有单调性．（1）求实数的取值范围；（2）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数不等式恒成立

Question

已知函数在上不具有单调性．

（1）求实数的取值范围；

（2）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数不等式恒成立

 

Answer 1

（1），                  ………………（2分）

∵在上不具有单调性，∴在上有正也有负也有0，

即二次函数在上有零点        ………………（4分）

∵是对称轴是，开口向上的抛物线，∴

的实数的取值范围                           ………………（6分）

（2）由（1），

方法1：，

∵，∴，…………（8分）

设，

在是减函数，在增函数，当时，取最小值

∴从而，∴，函数是增函数，

是两个不相等正数，不妨设，则

∴，∵，∴ 

∴，即      ………………（12分）

方法2： 、是曲线上任意两相异点，

，，

  ………（8分）

设，令，，

由，得由得

在上是减函数，在上是增函数，

在处取极小值，，∴所以

即