设函数f（x）=x-1x-2mlnx（m∈R），讨论函数f（x）的单调性．

Question

设函数f（x）=x-(1)/(x)-2mlnx（m∈R），讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

函数f（x）的定义域（0，+∞），
f′（x）=(x2-2mx+1)/(x2)，
令h（x）=x²-2mx+1，
△=4m²-4=4（m²-1），
当△>0即m>1或m<-1时，方程h（x）=0有两个根，
设方程x²-2mx+1=0的两根是：x₁，x₂，且x₁<x₂，
解得：x₁=m-√(m2-1)，x₂=m+√(m2-1)，
∴x₁+x₂=m，x₁•x₂=1，
当△≤0时，即m∈[-1，1]时，f′（x）≥0，原函数在定义域上单调递增，
当m<-1时，△>0，两根均为负，f（x）在定义域上单调递增，
当m>1时，△>0，两根均为正，
故f（x）在区间（0，m-√(m2-1)），（m+√(m2-1)，+∞）递增，在（m-√(m2-1)，m+√(m2-1)）递减．