已知函数．（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0．

Question

已知函数 ．
（I）讨论 的单调性；
（II）设 ，证明：当 时， ；
（III）若函数 的图像与 x 轴交于 A ， B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x ₀ ，
证明： （ x ₀ ）＜0．

Answer 1

已知函数 ．
（I）讨论 的单调性；
（II）设 ，证明：当 时， ；
（III）若函数 的图像与 x 轴交于 A ， B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x ₀ ，
证明： （ x ₀ ）＜0．

（1） 单调增加，在 单调减少；
（2）当 ，
（3）见解析.

第一问利用导数求解得到。
（I）  
（i）若 单调增加.
（ii）若 且当

所以 单调增加，在 单调减少.
第二问中，构造函数设函数 则   

结合导数得到单调性判定进而求解。
第三问中，由（I）可得，当 的图像与x轴至多有一个交点，
故 ，从而 的最大值为
（I）  
（i）若 单调增加.
（ii）若 且当

所以 单调增加，在 单调减少.       3分
（II）设函数 则   

当 .
故当 ，         6分
（III）由（I）可得，当 的图像与x轴至多有一个交点，
故 ，从而 的最大值为
不妨设   
由（II）得 从而
由（I）知，         10分