已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值．

Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M((3π)/(4)，0)对称，且在区间[0，(π)/(2)]上是单调函数，求φ和ω的值．

Answer 1

由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
所以-cosφsinωx=cosφsinωx，
对任意x都成立，且w＞0，
所以得cosφ=0．
依题设0≤φ≤π，所以解得φ=(π)/(2)，
由f（x）的图象关于点M对称，
得f((3π)/(4)−x)＝−f((3π)/(4)+x)，
取x=0，得f（(3π)/(4)）=sin（(3ωπ)/(4)+(π)/(2)）=cos(3ωπ)/(4)，
∴f（(3π)/(4)）=sin（(3ωπ)/(4)+(π)/(2)）=cos(3ωπ)/(4)，
∴cos(3ωπ)/(4)=0，
又w＞0，得(3ωπ)/(4)=(π)/(2)+kπ，k=0，1，2，3，…
∴ω=(2)/(3)（2k+1），k=0，1，2，…
当k=0时，ω=(2)/(3)，f（x）=sin（(2)/(3)x+(π)/(2)）在[0，(π)/(2)]上是减函数，满足题意；
当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+(π)/(2)）=cos2x，在[0，(π)/(2)]上是减函数，满足题意；
当k=2时，ω=(10)/(3)，f（x）=sin（(10)/(3)x+(π)/(2)）在[0，(π)/(2)]上不是单调函数；
所以，综合得ω=(2)/(3)或2．