已知f（x）=[1/(2x次方-1)]+(1/2)]x1.判断函数f(x)的奇偶性2.求证:f(x)＞0

Question

已知f（x）=[1/(2x次方-1)]+(1/2)]x 1.判断函数f(x)的奇偶性 2.求证:f(x)＞0

Answer 1

1.求函数的定义域
2^x-1≠ 0 解得：x≠ 0,定义域关于原点对称.
2.讨论奇偶性
f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x(2^x+1)/[2(2^x-1)]
f(-x)=-x(2^(-x)+1)/[2(2^(-x)-1)] ……分子分母同乘以2^x可得下式
=-x(2^x+1)/[2(1-2^x)]=x(2^x+1)/2(2^x-1)
f(x)=f(-x)
所以是偶函数!
3求证f(x)>0
f(x)=x[1/(2^x-1)+1/2]=x(2^x+1)/2(2^x-1)
因：当x0,2^x-10,即：f(x)>0
当x>0时有：2^x+1>0,2^x-1>0 所以
x(2^x+1)/2(2^x-1)>0,即：f(x)>0
综上可知,只要x在定义域内都有f(x)>0