设函数.（1）讨论的奇偶性；（2）当时，求的单调区间；（3）若对恒成立，求实数的取值范围．

Question

设函数 .
（1）讨论 的奇偶性；
（2）当 时，求 的单调区间；
（3）若 对 恒成立，求实数 的取值范围．

Answer 1

设函数 .
（1）讨论 的奇偶性；
（2）当 时，求 的单调区间；
（3）若 对 恒成立，求实数 的取值范围．

(1)当a=0是偶函数；当a 0时函数f(x)为非奇非偶函数
(2) 原函数的减区间为（- ， ），增区间为（ ，+ ）；(3)

试题分析：（1）i)当a=0时：f(x)=x +
∵f(-x)="(-x)+" =x + =f(x)
函数f(x)为偶函数3分
ii)当a 0时：
∵f(1)=1+ ,f(-1)=1+
若f(1)=f(-1)，则1+ =1+ 从而a=0,舍去；
若f(1)=-f(-1)，则 + =-2从而a
 f(1) ±f(-1)， 函数f(x)为非奇非偶函数6分
（2）当a=2时：
f(x)=x + =
原函数的减区间为（- ， ），增区间为（ ，+ ）；10分
（3）∵x (-1,3)
f(x)<10可变为x -10<a-x< 10-x
即
对（*）：令g(x)= x +x-10,其对称轴为
             ③
对②令
                 ④
由③、④知：                              16分
点评：主要是考查了函数奇偶性和单调性以及函数的最值的运用，属于基础题。