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已知函数f(x)=(x-t)|x|(t∈R).(1)讨论y=f(x)的奇偶性;(2)当t>0时,求f(x)在区间[-1,2]的最小值h(t).
题目详情
已知函数f(x)=(x-t)|x|(t∈R).
(1)讨论y=f(x)的奇偶性;
(2)当t>0时,求f(x)在区间[-1,2]的最小值h(t).
(1)讨论y=f(x)的奇偶性;
(2)当t>0时,求f(x)在区间[-1,2]的最小值h(t).
▼优质解答
答案和解析
(1)当t=0时,f(x)=x|x|,f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),则f(x)为奇函数;
当t≠0时,f(-x)=(-x-t)|-x|≠±f(x),则f(x)为非奇非偶函数;
(2)f(x)=
.
当
≥2,即t≥4时,f(x)在[-1,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,
所以h(x)=min{f(-1),f(-2)}=min{-1-t,4--2t}=
;
当
<2,即0<t<4时,f(x)在[-1,0]和[
,2]单调递增,在[0,
]上单调递减,
所以h(x)=min{f(-1),f(
)}=min{-1-t,4--
}=-1-t,
综上所述,h(t)=
.
当t≠0时,f(-x)=(-x-t)|-x|≠±f(x),则f(x)为非奇非偶函数;
(2)f(x)=
|
当
t |
2 |
所以h(x)=min{f(-1),f(-2)}=min{-1-t,4--2t}=
|
当
t |
2 |
t |
2 |
t |
2 |
所以h(x)=min{f(-1),f(
t |
2 |
t2 |
4 |
综上所述,h(t)=
|
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