课本小结与复习的参考例题中，给大家分别用“综合法”，“比较法”和“分析法”证明了不等式：已知a，b，c，d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1，则|ac+bd|≤1．这就是著名的柯西（Cau

Question

课本小结与复习的参考例题中，给大家分别用“综合法”，“比较法”和“分析法”证明了不等式：已知a，b，c，d都是实数，且a ² +b ² =1，c ² +d ² =1，则|ac+bd|≤1．这就是著名的柯西（Cauchy．法国）不等式当n=2时的特例，即（ac+bd） ² ≤（a ² +b ² ）（c ² +d ² ），等号当且仅当ad=bc时成立．
请分别用中文语言和数学语言简洁地叙述柯西不等式，并用一种方法加以证明．

Answer 1

数学语言简洁地叙述柯西不等式：
a，b，c，d∈R，有：（ac+bd） ² ≤（a ² +b ² ）（c ² +d ² ），等号当且仅当ad=bc时成立；
中文语言简洁地叙述柯西不等式：
两个实数的平方和的积 不小于它们积的和的平方．取等号的条件是两列数对应成比例．
二维形式的证明：（a ² +b ² ）（c ² +d ² ）（a，b，c，d∈R）=a ² •c ² +b ² •d ² +a ² •d ² +b ² •c ²
=a ² •c ² +2abcd+b ² •d ² +a ² •d ² -2abcd+b ² •c ²
=（ac+bd） ² +（ad-bc） ² 2≥（ac+bd） ² ，
等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立．