综合法已知a,b,c属于正实数,且a+b+c=1,则（1/a-1）(1/b-1)(1/c-1)≥8

Question

综合法已知a,b,c属于正实数 ,且a+b+c=1,则（1/a-1）(1/b-1) (1/c-1)≥8

Answer 1

是证明题吧
证明：（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)-8=[(1-a)(1-b)(1-c)-8abc]/abc;
a+b+c=1,则1-a=b+c,1-b=a+c,1-c=a+b;
(1-a)(1-b)(1-c)-8abc=(b+c)(a+c)(a+b)-8abc;将括号相乘展开并合并同类项得：（其中b'表示b的平方）
a(b'+c')+b(a'+c')+c(a'+b')-6abc;将6abc拆成3个2abc
得：a(b'+c'+2bc)+b(a'+c'+2ac)+c(a'+b'+2ab)=
a(b+c)'+b(a+c)'+c(a+b)'>=0;所以(1-a)(1-b)(1-c)-8abc>=0
因为a,b,c属于正实数,所以abc>=0
因而1/a-1）(1/b-1) (1/c-1)≥8 证毕