已知α∈（0，π），求证：2sin2α≤sinα1-cosα，试用综合法和分析法分别证明．

Question

已知α∈（0，π），求证：2sin2α≤(sinα)/(1-cosα)，试用综合法和分析法分别证明．

Answer 1

证明：（综合法）(sinα)/(1-cosα)-2sin2α
=sinα((1)/(1-cosα)-4cosα)=((1-2cosα)2sinα)/(1-cosα)，
∵α∈（0，π），∴-1∴((1-2cosα)2sinα)/(1-cosα)≥0，即(sinα)/(1-cosα)-2sin2α≥0，
∴2sin2α≤(sinα)/(1-cosα)．
另证：（分析法）∵sin2α=2sinαcosα，
∴原不等式等价于4sinαcosα≤(sinα)/(1-cosα)．
又∵α∈（0，π），∴-1∴只需证4cosα≤(1)/(1-cosα)，化简，
得4cosα（1-cosα）≤1，即证（2cosα-1）²≥0，而此式显然成立，
故原不等式成立，得证．