若x≠0,求[根号下（1+x^2+x^4）-根号下（1+x^4）]/x的最大值

Question

若x≠0,求[根号下（1+x^2+x^4）-根号下（1+x^4）]/x的最大值

Answer 1

解析：
因为x≠0,则1+x^2+x^4>1+x^4>0
所以√(1+x^2+x^4)>√(1+x^4)>0
即√(1+x^2+x^4)－√(1+x^4)>0
则当x0
易知只需考虑x>0时,求原式的最大值
则当x>0时,
[√(1+x^2+x^4)－√(1+x^4)]/x
＝[√(1+x^2+x^4)－√(1+x^4)]*[√(1+x^2+x^4)+√(1+x^4)]/｛x*[√(1+x^2+x^4)+√(1+x^4)]｝
＝(x^2)/｛x*[√(1+x^2+x^4)+√(1+x^4)]｝
=x/[√(1+x^2+x^4)+√(1+x^4)]
=1/{ √[x^(-2) +1+x^2)+√[x^(-2) +x^2] }
由均值定理可知：
x^(-2) +x^2≥2√[x^(-2) *x^2]=2 （当且仅当x^(-2) ＝x^2即x＝1时取等号）
所以当x=1时,[√(1+x^2+x^4)－√(1+x^4)]/x有最大值＝1/[√(2+1) +√2]=√3 －√2