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正△ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是BC边上的任意一点,PA+PM的最大值是,最小值是.
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正△ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是BC边上的任意一点,PA+PM的最大值是___,最小值是___.
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答案和解析
如图1所示:作点M关于CB的对称点M′连接AM′、M′C.
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∵点M与点M′关于BC对称,
∴MP=M′P,∠MCP=∠M′CP.
∵△ABC是正三角形,M是AB的中点,
∴MC=CM′,∠MCP=∠ACP=30°.
∴∠MCP=∠ACP=∠M′CP=30°.
∴CM′=MC=BC×cos30°=2×
=
.
∴∠ACM′=90°.
∴AM′=
=
.
∴PA+PM的最小值是
.
如图2所示:当点P与点C重合时.PM+PA有最大值.
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∵PM=
,AP=2,
∴PA+PM=2+
.
故答案为:2+
;
.
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∵点M与点M′关于BC对称,
∴MP=M′P,∠MCP=∠M′CP.
∵△ABC是正三角形,M是AB的中点,
∴MC=CM′,∠MCP=∠ACP=30°.
∴∠MCP=∠ACP=∠M′CP=30°.
∴CM′=MC=BC×cos30°=2×
| ||
2 |
3 |
∴∠ACM′=90°.
∴AM′=
AM2+M′C2 |
7 |
∴PA+PM的最小值是
7 |
如图2所示:当点P与点C重合时.PM+PA有最大值.
![作业帮](http://img.zuoyebang.cc/zyb_5b8433185dc7422acc093d2da3903011.jpg)
∵PM=
3 |
∴PA+PM=2+
3 |
故答案为:2+
3 |
7 |
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