正△ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值是，最小值是．

Question

正△ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值是___，最小值是___．

Answer 1

如图1所示：作点M关于CB的对称点M′连接AM′、M′C．

∵点M与点M′关于BC对称，
∴MP=M′P，∠MCP=∠M′CP．
∵△ABC是正三角形，M是AB的中点，
∴MC=CM′，∠MCP=∠ACP=30°．
∴∠MCP=∠ACP=∠M′CP=30°．
∴CM′=MC=BC×cos30°=2×(√(3))/(2)=√(3)．
∴∠ACM′=90°．
∴AM′=√(AM2+M′C2)=√(7)．
∴PA+PM的最小值是√(7)．
如图2所示：当点P与点C重合时．PM+PA有最大值．

∵PM=√(3)，AP=2，
∴PA+PM=2+√(3)．
故答案为：2+√(3)；√(7)．