已知四边形ABCD中，AD+DB+BC=16，则四边形ABCD的面积的最大值为．

Question

已知四边形ABCD中，AD+DB+BC=16，则四边形ABCD的面积的最大值为______．

Answer 1

如右图所示，连接BD，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD，
S_△ABD=(1)/(2)AD•BDsin∠ADB，
S_△BCD=(1)/(2)BD•BCsin∠BCD，
∴当∠ADB=∠BCD=90°时，S_△ABD、S_△BCD有最大值，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=(1)/(2)AD•BD+(1)/(2)BD•BC，
又∵AD+BC=16-BD，
∴S_{四边形ABCD}=(1)/(2)BD（16-BD）=8BD-(1)/(2)BD²，
∵a=-(1)/(2)＜0，
∴当BD=-(b)/(2a)=8时，四边形ABCD的面积有最大值=(4ac−b2)/(4a)=32．
故四边形ABCD的最大面积是32．