已知函数f（x）=|x+1x-ax-b|（a，b∈R），当x∈[12，2]时，设f（x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．

Question

已知函数f（x）=|x+ (1)/(x)-ax-b|（a，b∈R），当x∈[ (1)/(2)，2]时，设f（x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为___．

Answer 1

由题意可得a≤0，b≤0，f（x）可取得最大值，
即有f（x）=x+(1)/(x)-ax-b，x∈[(1)/(2)，2]，
f′（x）=1-(1)/(x2)-a=((1-a)x2-1)/(x2)，
由f′（x）=0可得x=√((1)/(1-a))（负的舍去），
且为极小值点，
则f（(1)/(2)）=(5)/(2)-(1)/(2)a-b，f（2）=(5)/(2)-2a-b，
由f（(1)/(2)）-f（2）=(3)/(2)a<0，即有f（2）取得最大值，
即有M（a，b）=(5)/(2)-2a-b，
则a≤0，b≤0时，M（a，b）≥(5)/(2)．
可得最小值为(5)/(2)．
故答案为：(5)/(2)．