4x^2+y^2+xy=1求x+y的最大值与x^2+y^2的最小值题目绝对没错,是x+y,不是2x+y

Question

4x^2+y^2+xy=1求x+y的最大值与x^2+y^2的最小值
题目绝对没错,是x+y,不是2x+y

Answer 1

设m=(3x+y)/4 ,n=(x-y)/4
则:m+n=x,m-3n=y,
代入4x^2+y^2+xy=1
得:6m^2+10n^2=1
再设m=sina/(根6),n=cosa/(根10)
x+y=m+n+(m-3n)=2m-2n=(2/根6)sina-(2/根10)cosa
x+y最大值=根号[(2/根6)^2+(2/根10)^2]=根号(2/3+2/5)=(4/15)根15
x^2+y^2=(m+n)^2+(m-3n)^2=2m^2+10n^2-4mn
=(1/3)sina^2+cosa^2-(2/根15)sinacosa
=1/3+(2/3)cosa^2-(1/根15)*sin2a
=1/3+(2/3)(1/2+cos2a/2)-(1/根15)*sin2a
=2/3+(1/3)cos2a-(1/根15)*sin2a
x^2+y^2最小值=2/3-根号[(1/3)^2+(1/根15)^2]=2/3-根号(1/9+1/15)=2/3-(2/15)根10
或者设m=(2x+y)/4,n=(2x-y)/4
把x=m+n,y=2(m-n)代入,也可以.