已知递推公式求通项公式的方法累加法、叠代法、系数法。需要例题。

Question

已知递推公式求通项公式的方法
累加法、叠代法、系数法。
需要例题。

Answer 1

累加法:已知a1=1, an+1=an+2n 求an ,
由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, …an-an-1=2n-1
将以上n-1个式子相加可得
an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1
叠代法:已知a1=1/2,a(n+1)=2an-3,求an
a(n+1)=2an-3
a(n+1)-3=2(an-3)
an-3=2(a n-1-3)=...=2^(n-1)(a1-3)
an=(-5/2)2^(n-1)+3
系数法：数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通项公式。
由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1
令an＋x=－2（an－1＋x），则an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－13
∴ an－13 =－2（an－1－13 ）
故{ an－13 }是公比q为－2，首项为an－13 =23 的等比数列
∴an－13 =23 （－2）n－1=1－（－2）n3