试建立∫1/sin^nxdx的递推公式

Question

试建立∫1/sin^nx dx的递推公式

Answer 1

设ƒ(n) = ∫ 1/(sinx)^n dx = ∫ (cscx)^n dx
= ∫ (cscx)^(n - 2) * csc²x dx
= ∫ (cscx)^(n - 2) d(- cotx)
= - cotx(cscx)^(n - 2) + ∫ cotx d(cscx)^(n - 2)
= - cotx(cscx)^(n - 2) + (n - 2)∫ cotx * (cscx)^(n - 3) * (- cscxcotx) dx
= - cotx(cscx)^(n - 2) - (n - 2)∫ cot²x * (cscx)^(n - 2) dx
= - cotx(cscx)^(n - 2) - (n - 2)∫ (csc²x - 1) * (cscx)^(n - 2) dx
= - cotx(cscx)^(n - 2) - (n - 2)ƒ(n) + (n - 2)ƒ(n - 2)
[1 + (n - 2)]ƒ(n) = - cotx(cscx)^(n - 2) + (n - 2)ƒ(n - 2)
ƒ(n) = [- cotx(cscx)^(n - 2)]/(n - 1) + [(n - 2)/(n - 1)]ƒ(n - 2)