求In=∫(secx)^ndx的递推公式百度知道上2010年回答过的那个明显是错的

Question

求In=∫(secx)^ndx的递推公式
百度知道上2010年回答过的那个明显是错的

Answer 1

So easy~
Let L = ∫ (secx)^n dx
= ∫ (secx)^(n-2) * sec²x dx
= ∫ (secx)^(n-2) d(tanx)
= (tanx)(secx)^(n-2) - ∫ tanx d(secx)^(n-2)
= (sinx/cosx)(secx)^(n-1) * (1/secx) - (n-2)∫ tanx * (secx)^(n-3) * (secxtanx) dx
= (sinx/cosx)(secx)^(n-1) * cosx - (n-2)∫ tan²x * (secx)^(n-2) dx
= (sinx)(secx)^(n-1) - (n-2)∫ (sec²x-1)(secx)^(n-2) dx
= (sinx)(secx)^(n-1) - (n-2)[L - ∫ (secx)^(n-2)] dx
[1 + (n-2)]L = (sinx)(secx)^(n-1) + (n-2)∫ (secx)^(n-2) dx
(n-1)L = (sinx)(secx)^(n-1) + (n-2)∫ (secx)^(n-2) dx
L = [1/(n-1)](sinx)(secx)^(n-1) + [(n-2)/(n-1)]∫ (secx)^(n-2) dx