已知递推公式An=n*A(n-1)+(n-1)!,求An可以写成其他形式吗？不用阶乘，而用关于n的一个代数式表示．An=n*A(n-1)+(n-1)!n和A(n-1)是相乘的关系，即n和数列的第n-1项相乘，再加上（n-1)的阶乘A1＝1

Question

已知递推公式An=n*A(n-1)+(n-1)!,求An
可以写成其他形式吗？不用阶乘，而用关于n的一个代数式表示．
An=n*A(n-1)+(n-1)!
n和A(n-1)是相乘的关系，即n和数列的第n-1项相乘，再加上（n-1)的阶乘
A1＝1

Answer 1

改正:
你给出A1=1之后这道题就豁然开朗拉~
(1)已知递推公式An=n*A(n-1)+(n-1)!,求An
An=n*An(n-1)+(n-1)(n-2)!
An=n*An(n-1)+n*(n-2)!-(n-2)!
An+(n-2)!=n*An(n-1)+n*(n-2)!
An+(n-2)!=n[An(n-1)+(n-2)!]
[An+(n-2)!]/[An(n-1)+(n-2)!]=n
n-2>=0,否则(n-2)!无意义
故
当n=2时
用累积法,得到[An+(n-2)!]/(A1+0!)=n*(n-1)*...*2
An+(n-2)!=(A1+1)n*(n-1)*...*2*1=2*n!
An=2*n!-(n-2)!
验证:当n=1时,A2=2*2!-1=4-1=3
而题目中An=n*A(n-1)+(n-1)!,A2=2*A1+1!=2+1=3
故成立,An分段,①当n=1时,An=1②当n>=2时,An=2*n!-(n-2)!
(2)n!可以写成其他形式吗?不用阶乘,而用关于n的一个代数式表示
能
n!=n*(n-1)*(n-2)*...2*1
这已经是最简了,只能接着算具体数值了.