已知数列{an}满足如图所示的程序框图．（I）写出数列{an}的一个递推关系式；（II）证明：{an+1-2an}是等比数列；（III）证明{an2n}是等差数列，并求{an}的通项公式．

Question

已知数列{a_n}满足如图所示的程序框图．
（I）写出数列{a_n}的一个递推关系式；
（II）证明：{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（III）证明{(an)/(2n)}是等差数列，并求{a_n}的通项公式．

Answer 1

（I） 由程序框图可知，数列{an}的一个递推关系式
a₁=1，a₂=1，a _n+2=4 a_n+1-4a_n
（II）由a_n+1-2a_n =2（a _n+1-2a_n），且a₂-2a₁=-1
∴数列{a_n+1-2a_n}是以-1为首项，2为公比的等比数列
（III） 由（II）有a_n+1-2a_n=-2 ^n-1
∴(an+1)/(2n+1)−(an)/(2n)⁼(1)/(4)^，又(a2)/(21)⁼(1)/(2)
^∴_l数列{(an)/(2n)}是以(1)/(2)为首项，以−(1)/(4)为公差的等差数列
∴(an)/(2n)＝(1)/(2)+ (−(1)/(4))(n−1)，
∴a_n=((3−n)/(4))•2n