在三阶递推中an+3=Pan+2+Qan+1+Ran如果特征方程的三个特征根相同,应该用哪个公式如果其中两个根相同呢,或者只有一个是根,公式是啥,

Question

在三阶递推中an+3=Pan+2+Qan+1+Ran
如果特征方程的三个特征根相同,应该用哪个公式
如果其中两个根相同呢,或者只有一个是根,公式是啥,

Answer 1

首先你要明白特征根是怎么来的
设a(n+3)+xa(n+2)+ya(n+1)=z(a(n+2)+xa(n+1)+ya(n))
由系数对应相等可得
z-x=P x=z-P
zx-y=Q
zy=R y=R/z
所以z(z-P)-R/z=Q 即z^3-pz^2-Qz-R=0
可见z是特征方程的根,一般取比较好算的整数,这样x y也就能顺利得到
你就可以求得数列{a(n+2)+xa(n+1)+ya(n)}的通项公式,一般是等比数列,z为公比
然后两边同时除以z^(n+2),化为a(n+2)/z^(n+2)+x/z*a(n+1)/z^(n+1)+y/z^2*a(n)/z^n=k的形式
设b(n)=a(n)/z^n 就有b(n+2)+x/z*b(n+1)+y/z^2*b(n)=k
以下仍然可以用待定系数法求通项,等比值仍可以通过特征方程求得
我觉得是那个根好用就用哪个根,没有规定说一定要用哪个