用数学归纳法证明cn1+2cn2+3cn3…+ncnn的和等于n2^n-1

Question

用数学归纳法证明cn1+2cn2+3cn3…+ncnn 的和等于n2^n-1

Answer 1

倒序相加法可以证明.第一个S的Cn1对应第二个S的(n-1)Cnn-1
倒序过后错一个位相加,就可以了.
令S=Cn1 +2Cn2+……+nCnn
则S也可nCnn+（n-1）Cnn-1+……+2Cn2+Cn1 +（倒序）
2S=(n+1)(Cn0+Cn1+.+Cnn)
S=(1/2)*n*2^n=n*2^(n-1) (S+S=2S,S=2S/2)
所以 Cn1+2Cn2+3Cn3+.+nCnn=n.2^(n- 1） Cnn=Cn0 Cnn-1=Cn1