设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,使等式f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+n=g(n)f(n)成立的g(n)是?

Question

设f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n,使等式f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)+n=g(n)f(n)成立的g(n)是?

Answer 1

当n=1时
f(1)+1=g(1)f(1)
代入f(1)=1得
1+1=g(1)
g(1)=2
当n=2时
f(1)+f(2)+2=g(2)f(2)
代入f(1)=1,f(2)=3/2得
1+3/2+2=g(2)*3/2
g(2)=3
当n=3时
f(1)+f(2)+f(3)+3=g(3)f(3)
代入f(1)=1,f(2)=3/2,f(3)=11/6得
1+3/2+11/6+3=g(3)*11/6
g(3)=4
因此可猜测g(n)=n+1,下面用数学归纳法证明这个猜测：
当n=1时之前已证实g(n)=n+1成立
假设g(k)=k+1成立,只需证明g(k+1)=k+2成立即可
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(k)+k=g(k)f(k)
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(k+1)+k+1=g(k+1)f(k+1)
两式想减得
f(k+1)+1=g(k+1)f(k+1)-g(k)f(k)
f(k+1)g(k+1)=f(k+1)+1+g(k)f(k)
=f(k+1)+1+(k+1)f(k)
代入f(k+1)=f(k)+1/(k+1)得
(f(k)+1/(k+1))g(k+1)=f(k)+1/(k+1)+1+(k+1)f(k)
((k+1)f(k)+1)g(k+1)=(k+1)f(k)+1+k+1+(k+1)²f(k)
=(k+1)(k+2)f(k)+k+2
=(k+2)((k+1)f(k)+1)
显然(k+1)f(k)+1>0
所以g(k+1)=k+2,得证
所以由数学归纳法可得g(n)=n+1