用数学归纳法证明：1+122+132+…+1n2<2-1n（n≥2）

Question

用数学归纳法证明：1+(1)/(22)+(1)/(32)+…+(1)/(n2)<2-(1)/(n)（n≥2）

Answer 1

证明：①当n=2时，原不等式左边=1+(1)/(22)=(5)/(4)，右边=2-(1)/(2)=(3)/(2)=(6)/(4)，左边<右边，不等式成立；
②假设当n=k时，原不等式成立，即1+(1)/(22)+(1)/(32)+…+(1)/(k2)<2-(1)/(k)成立，
则当n=k+1时，1+(1)/(22)+(1)/(32)+…+(1)/(k2)+(1)/((k+1)2)<2-(1)/(k)+(1)/((k+1)2)=2-(k2+2k+1-k)/(k(k+1)2)
=2-(k2+k+1)/(k(k+1)2)=2-(k(k+1))/(k(k+1)2)-(1)/(k(k+1)2)<2-(k(k+1))/(k(k+1)2)=2-(1)/(k+1)．
即n=k+1时原不等式也成立．
综上，对于任意n（n∈N^*且n≥2）原不等式成立．