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设复数在复平面上对应向量,将按顺时针方向旋转后得到向量,对应的复数为z2=r(cos∅+isin∅),则tg∅()A.+12tgθ-1B.C.D.
题目详情
设复数
在复平面上对应向量
,将
按顺时针方向旋转
后得到向量
,
对应的复数为z2=r(cos∅+isin∅),则tg∅( )
A.+12tgθ-1
B.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dc54564e9258d10920cb9103d458ccbf6c814d52.jpg)
C.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2934349b033b5bb58dd6184f33d3d539b600bc79.jpg)
D.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9e3df8dcd100baa17f047f0a4210b912c8fc2e52.jpg)
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A.+12tgθ-1
B.
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C.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2934349b033b5bb58dd6184f33d3d539b600bc79.jpg)
D.
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▼优质解答
答案和解析
先把复数z1 化为三角形式,再根据题中的条件求出复数z2,将求出的复数 z2和已知的复数 z2作对照,可得cos∅=cos(
π+β ),sin∅=sin(
π+β),可求tan∅,再把tanβ=
代入化简.
【解析】
∵复数z1=2sinθ+icosθ ( 0<θ<
) 的模为
=
,
∴复数z1=
(
+i
)=
(cosβ+i sinβ)
其中,cosβ=
,sinβ=
,β为锐角,∴tanβ=
,
∴z2 =
•(cos(β-
)+i sin(β-
))
=
•(cos(2π+β-
)+i sin(2π+β-
))=
•(cos(
π+β )+isin(
π+β)),
又已知复数 z2=r(cos∅+isin∅),∴cos∅=cos(
π+β ),sin∅=sin(
π+β),
∴tan∅=
=
=tan(
+β)=tan(
+β)=
=
=
=
,
故选 B.
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【解析】
∵复数z1=2sinθ+icosθ ( 0<θ<
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4b90f603738da977cc07be9ab551f8198618e353.jpg)
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b7b02087bf40ad170cfff52522c11dfa9ecce53.jpg)
∴复数z1=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6609c93d70cf3bc73101f55dd400baa1cd112a79.jpg)
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c995d143ad4bd113a8cc8f835fafa40f4bfb0579.jpg)
其中,cosβ=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f636afc379310a555b25e645b24543a982261079.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/2e2eb9389b504fc2a67488b4e0dde71190ef6d53.jpg)
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∴z2 =
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bd3eb13533fa828b3808a552f81f4134970a5a53.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4e4a20a4462309f7ba6f95a3770e0cf3d7cad67a.jpg)
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=
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又已知复数 z2=r(cos∅+isin∅),∴cos∅=cos(
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/503d269759ee3d6d77ecbf7a46166d224f4ade5c.jpg)
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∴tan∅=
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/267f9e2f07082838180ee4a5bd99a9014c08f17b.jpg)
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0d338744ebf81a4c6b31d478d22a6059252da67b.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/810a19d8bc3eb135afed8f0aa31ea8d3fd1f445c.jpg)
=
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/342ac65c10385343abccbf909613b07eca80887b.jpg)
故选 B.
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