急..1)已知复数z满足z-3/z+3是纯虚数,求|z|的值.2)已知|z|=1,u=z-a/1-az(其中a∈R),求|u|.3)已知2是实系数方程x⒊+mx⒉+21x-26=0的根,则这方程在复数范围内其余两个根为.4)设虚数z1,z2满足z1⒉=z2,若z1

Question

急..
1)已知复数z满足z-3/z+3是纯虚数,求|z|的值.
2)已知|z|=1,u=z-a/1-az(其中a∈R),求|u|.
3)已知2是实系数方程x⒊+mx⒉+21x-26=0的根,则这方程在复数范围内其余两个根为________.
4)设虚数z1,z2满足z1⒉=z2,若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个跟.求z1,z2.
5)α,β是方程x⒉+1=0的两个根,那么α(n次方)+β(n次方) {n∈N}的值应为_____.
麻烦懂的教下把 不太会做!

Answer 1

1)已知复数z满足(z-3)/(z+3)是纯虚数,求|z|的值.
设z=a+bi,那么(z-3)/(z+3)=(a-3+bi)/(a+3+bi)
=(a-3+bi)(a+3-bi)/[(a+3)^2+b^2]
=[a^2-(3-bi)^2]/[(a+3)^2+b^2]
=(a^2-9+b^2+6bi)/[(a+3)^2+b^2]
那么这个式子中实部为0,虚部不为0,
即a^2-9+b^2=0,所以a^2+b^2=9,那么|z|=3.
2)已知|z|=1,u=z-a/1-az(其中a∈R),求|u|.
u=(z-a)/(1-az),那么(z-a)=(u-azu)
z=(u-a)/(1-au)
|z|=1,那么
|(u-a)|/|(1-au)|=1.
两边平方得
(u-a)(u共轭-a共轭)=(1-au)(1-a共轭u共轭)
其中a为实数,a=a共轭.
得|u|=1.
3)已知2是实系数方程x^3+mx^2+21x-26=0的根,
则这方程在复数范围内其余两个根为____.
2是实系数方程x^3+mx^2+21x-26=0的根,
把2代入得到式子中,有8+4m+42-26=0,得m=-6.
原方程就成了x^3-6x^2+21x-26=0
此式子可以变为(x-2)(x^2-4x+13)=0
2是其中的一根,另外的就是x^2-4x+13=0的根,
解出来两个根为2+3i和2-3i.
4)设虚数z1,z2满足z1^2=z2,
若z1,z2又是一个实系数一元二次方程的两个跟.求z1,z2.
设z1=a+bi,z2=a-bi(a,b∈R,且b≠0)
(因为实系数的一元二次方程的虚根共轭)
由z1^2=z2得a2-b2+2abi=a-bi
得到a^2-b^2=a,和2b=-b,
解方程得a=-1/2,b=(√3)/2
所以z1=-1/2+(√3)i/2,z2=-1/2-(√3)i/2
5)α,β是方程x^2+1=0的两个根,那么α(n次方)+β(n次方) {n∈N}的值应为_____.
x^2+1=0的两根是-i和i,那么α^n+β^n=(-i)^n+i^n
当n=4k(k∈Z)时,(-i)^n+i^n=1+1=2;
当n=4k+1(k∈Z)时,(-i)^n+i^n=-i+i=0;
当n=4k+2(k∈Z)时,(-i)^n+i^n=-1-1=-2;
当n=4k+3(k∈Z)时,(-i)^n+i^n=i-i=0,
总上得α^n+β^n的值为-2,0,2.