怎样证明零向量已知det（A-λE）=（a-λ）^3r(A-aE)^2=1证明（A-λE）^3=0错了，证明证明（A-aE）^3=0注：λ是特征值，a是一个数

Question

怎样证明零向量
已知det（A-λE）=（a-λ）^3
r(A-aE)^2=1
证明 （A-λE）^3=0
错了，证明证明 （A-aE）^3=0
注：λ是特征值，a是一个数

Answer 1

det（A-λE）=（a-λ）^3.A有三重特征值a.A的Jordan标准型J只可为下面三个
中的一个：
（a10,0a1,00a）,（a10,0a0,00a）,（a00,0a0,00a）
即有满秩矩阵P:P^（-1）AP＝J.∴A＝PJP^（-1）
（A-aE）^3＝P（J-aE）^3P^（-1）
J-aE为（010,001,000）或者（010,000,000）或者（000,000,000）.
总有（J-aE）^3＝0.[0矩阵,即（000,000,000）.]
∴（A-aE）^3＝P×（000,000,000）P^（-1）＝0.