数学n维向量组n维向量组a1,a2,...,as,线性无关的充分条件是(A)a1,a2,...,as都不是零向量(B)a1,a2,...,as中任意两个向量都不成比例(C)a1,a2,...,as中任意一个向量都不能由其余向量线性表出(D)s＜n望

Question

数学n维向量组
n维向量组a1,a2,...,as,线性无关的充分条件是 (A)a1,a2,...,as 都不是零向量 (B)a1,a2,...,as 中任意两个向量都不成比例 (C)a1,a2,...,as 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出 (D)s＜n 望给出详细解题思路

Answer 1

如果向量组中有两个非零向量成比例则向量组线性相关 所以A 不对 B是必要条件,因为如(1,0,1)T,(0,1,0)T,(1,1,1)T任意两个向量之间都不成比例,但是三个向量现行相关 C是充要条件,用反证法,先证充分性如果向量组线性相关则K1A1+K2A2+...KSAS=0 中必然有一个K不等于0,设Ki≠0,那么Ai能被其余向量线性表示,与C题设不符,所以向量组线性无关 必要性,如果有一个向量能被线性表示,设Ai=K1A1+K2A2+...+K(i-1)A(i-1)+k(i+1)A(i+1)+...+KsAs 则向量组线性相关,与向量组线性无关题设不符,所以任意一个向量不能由其余向量线性表示 D关于秩的情况大多是证明线性相关的